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Dreidimensionaler Potentialtopf

1. Eindimensionaler Potentialtopf

Der unendlich hohe Potentialtopf ist eines der einfachsten quantenmechanischen Systeme. Meistens werden die Wellenfunktionen für den Potentialtopf aus der Analogie zu einer stehenden Welle gewonnen. Man fordert, dass die Wellenfunktion am Rand des Potentialtopfs (bei x = 0 und x = a) Null werden soll. Dann "passen" nur ganz bestimmte de-Broglie-Wellenlängen in diesen Bereich. Es bilden sich, "stehende Elektronenwellen" aus, so dass gerade ein ganzzahliges Vielfaches der halben de-Broglie-Wellenlänge auf die Strecke a passt:

  (n=1,2,3,...)


Das bedeutet, dass im Potentialtopf nicht jede de-Broglie-Wellenlänge erlaubt ist. Die zum n-ten Zustand gehörende Wellenfunktion ist:


Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte (Betragsquadrat der Wellenfunktion) ist:

 

Bestimmung der Energie:

Üblicherweise bestimmt man die Energieniveaus aus den erlaubten Wellenlängen mit Hilfe der de-Broglie-Beziehung λ = h /p:


Setzt man die oben gewonnene Formel für λn ein, erhält man die Energieniveaus eines Elektrons im Potentialtopf:



 

2. Dreidimensionaler Potentialtopf

Nachdem man den eindimensionalen Potentialtopf behandelt hat, stellt der dreidimensionale Potentialtopf kein Problem mehr dar, denn man kann die oben angestellte Überlegung für jede der drei Raumdimensionen einzeln wiederholen. Die Wellenfunktion ist das Produkt dreier Sinusfunktionen für jede Raumrichtung:

Die Energie setzt sich entsprechend zusammen:


Dies ist das Ergebnis, das im Haupttext benötigt wird.

 

3. Behandlung mit der Schrödinger-Gleichung

Hat man die Schrödinger-Gleichung (vgl. Kapitel 8.8) im Unterricht plausibel gemacht und eingeführt, ist ihre Lösung für den Fall des Potentialtopfs sehr einfach. Im Innern des Potentialtopfs handelt es sich einfach um die Gleichung für ein freies Teilchen:


Einsetzen des Ansatzes

in diese Gleichung ergibt:



Die Randbedingungen (Verschwinden der Wellenfunktion bei x=0 und x=a) führen zu der gleichen Bedingung wie oben:


Damit werden die Energieniveaus im Potentialtopf wie oben:
 


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