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Näherung des Tunneleffekts

Warum liefert die angegeben Lösung nur eine Näherung für den Tunneleffekt?


Die Schrödingergleichung ist hier im Reellen gelöst worden. Dies bedeutet, dass die Lösung zeitunabhängig, also rein statisch ist: Die Wellenfunktion entspricht der einer stehenden Welle und ist somit genaugenommen ungeeignet, Transportprozesse von Quantenobjekten direkt zu beschreiben. Der Begriff "Durchtunneln" passt also in diesem Zusammenhang nicht.

Im folgenden wird ohne Rechnung gezeigt, wie man aus dem Ansatz für die exakte, zeitabhängige Lösung eine Näherung mit stehenden Wellen konstruieren kann. Diese Näherung erfüllt die leichter zu lösende, stationäre Schrödingergleichung.

Ansatz für die exakte Lösung:

Quantenobjekte laufen von links auf eine Barriere zu. Die Quantenobjekte werden durch eine Wellenfunktion beschrieben, die einer fortlaufenden ebenen Welle (komplexe harmonische Welle) entspricht. An der Barriere teilt sich die Welle in eine transmittierte und eine reflektierte Teilwelle. Die Intensitäten der Teilwellen ergeben sich aus der Tatsache, dass die einlaufende Welle und die zwei auslaufenden Teilwellen die (zeitabhängige) Schrödingergleichung erfüllen müssen.

 



Bei gegebener Barriereform und gegebener kinetischer Energie der Quantenobjekte lässt sich so der Transmissionskoeffizient als Intensitätsverhältnis von transmittierter zu einlaufender Welle exakt berechnen.

 

Der zeitlich umgekehrte Prozess:

Die Schrödingergleichung (zeitabhängige wie auch zeitunabhängige) besitzt im wesentlichen dieselben Lösungen, wenn die Zeitachse gespiegelt wird, also die Zeit rückwärts läuft. Genau genommen muss bei der Zeitumkehr (t -> -t) die Wellenfunktion durch ihre konjugiertkomplexe Wellenfunktion ersetzt werden.

Der zeitlich umgekehrte Prozess sieht so aus, dass zwei Wellen von links und rechts so auf die Barriere zulaufen, dass sie sich bei der Barriere zu einer einzigen, nach links laufenden Welle vereinen.

Bemerkung: Intuitiv würde man erwarten, dass es hier auch zwei auslaufende Wellen geben sollte. Die Startbedingungen sind aber so gewählt, dass die nach rechts auslaufende Welle infolge destruktiver Interferenz verschwindet.

Die Überlagerung der beiden Prozesse:

Werden nun die beiden Prozesse überlagert, dann finden sich stets Paare von zwei entgegengesetzt laufenden Wellen, die sich zu stehenden Wellen ergänzen. Damit ist das Problem statisch geworden. Die zugehörige Wellenfunktion löst also die stationäre Schrödingergleichung.

 

 

Worin liegt die Näherung?

Im Fall des echten Transportprozesses beschreibt der Transmissionskoeffizient das Intensitätsverhältnis von transmittierter zu einlaufender Welle. Diese Definition lässt sich nicht direkt auf den stationären Fall übertragen.

Im Fall der stehenden Wellen kann rechnerisch nur das Intensitätsverhältnis zwischen links bzw. rechts von der Barriere befindlichen stehenden Welle berechnet werden. Dabei kann die schwächere rechte Welle leicht mit der transmittierten Welle identifiziert werden, während sich die stärkere linke Welle sowohl aus der einlaufenden, wie auch der reflektierten Welle zusammensetzt. Deshalb entspricht die Intensität der linken Welle (stationäre Näherung) nicht exakt der der einlaufenden Welle (exakte Lösung). Die Näherung besteht nun darin, die Intensität der einlaufenden Welle durch die der stehenden Welle auf der linken Seite zu approximieren.

Wann ist die Näherung gut?

Je geringer die Abweichung in der Intensität von einlaufender und reflektierter Welle ist, desto besser ist die Näherung des Transportprozesses durch den stationären Fall. Dies ist gleichbedeutend mit einer guten Näherung bei hohem Reflexionsgrad bzw. geringem Transmissionsgrad.


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